• 2020年中考數學基礎題型提分講練專題17反比例函數綜合題含解析 聯系客服

    專題17 反比例函數綜合題

    考點分析

    【例1】(2018·浙江中考真題)如圖1,在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,頂點A在第一象限,B,C在x軸的正半軸上(C在B的右側),BC=2,AB=23,△ADC與△ABC關于AC所在的直線對稱.

    (1)當OB=2時,求點D的坐標;

    (2)若點A和點D在同一個反比例函數的圖象上,求OB的長;

    (3)如圖2,將第(2)題中的四邊形ABCD向右平移,記平移后的四邊形為A1B1C1D1,過點D1的反比例函數y=

    k(k≠0)的圖象與BA的延長線交于點P.問:在平移過程中,是否存在這樣的k,使得以點xP,A1,D為頂點的三角形是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的k的值;若不存在,請說明理由.

    【答案】(1)點D坐標為(5,3);(2)OB=3;(3)k=123. 【解析】

    (1)如圖1中,作DE⊥x軸于E.

    1

    ∵∠ABC=90°, ∴tan∠ACB=

    ABBC?3, ∴∠ACB=60°,

    根據對稱性可知:DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°∴∠DCE=60°,

    ∴∠CDE=90°-60°=30°, ∴CE=1,DE=3, ∴OE=OB+BC+CE=5, ∴點D坐標為(5,3).

    (2)設OB=a,則點A的坐標(a,23), 由題意CE=1.DE=3,可得D(3+a,3), ∵點A、D在同一反比例函數圖象上, ∴23a=3(3+a), ∴a=3, ∴OB=3.

    (3)存在.理由如下:

    ①如圖2中,當∠PA1D=90°時.

    2

    ,

    ∵AD∥PA1,

    ∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°,

    在Rt△ADA1中,∵∠DAA1=30°,AD=23, ∴AA1=

    ADcos30?=4,

    在Rt△APA1中,∵∠APA1=60°,

    ∴PA=

    433, ∴PB=1033, 設P(m,1033),則D1(m+7,3), ∵P、A1在同一反比例函數圖象上,

    ∴1033m=3(m+7), 解得m=3,

    ∴P(3,1033), ∴k=103.

    ②如圖3中,當∠PDA1=90°時.

    3

    ∵∠PAK=∠KDA1=90°,∠AKP=∠DKA1, ∴△AKP∽△DKA1,

    AKPK?. KDKA1∴

    PKKA1?, AKDK∵∠AKD=∠PKA1, ∴△KAD∽△KPA1,

    ∴∠KPA1=∠KAD=30°,∠ADK=∠KA1P=30°, ∴∠APD=∠ADP=30°, ∴AP=AD=23,AA1=6,

    設P(m,43),則D1(m+9,3), ∵P、A1在同一反比例函數圖象上, ∴43m=3(m+9), 解得m=3, ∴P(3,43), ∴k=123.

    點睛:本題考查反比例函數綜合題、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數、解直角三角形、待定系數

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